山西自考-线性代数(经管类)复习资料下载1
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第四部分 线性方程组
本章讨论线性方程组,对齐次方程组主要是讨论齐次方程组有非零解的充要条件,基础解系的概念,解的性质,以及求基础解系和通解的方法。对非齐次方程组主要讨论何时有解?何时解惟一?何时有无穷多解?有无穷多解时,如何求通解。
4.1 齐次线性方程组
4.1.1 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
齐次线性方程组的一般形式是
用矩阵也可简写成
Ax=0
其中 。
我们要讨论的问题是:该齐次方程组有非零解的充分必要条件。
令 为矩阵A的列向量,则该齐次方程组又可以写成
,其中
则齐次方程组有非零解的充分必要条件就是向量组 线性相关,用矩阵的秩来描述就是该线性方程组的系数矩阵 的秩r(A)<n,其中n是未知数的个数。于是有下面的定理
定理4.1.1 齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是r(A)<n,其中n是未知数的个数(也是矩阵A的列数)。
等价的说法是
齐次线性方程组AX=0只有零解,没有非零解的充分必要条件是r(A)=n。
推论1 n个未知数n个方程的齐次方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式 。
下面讨论当齐次方程组有非零解时,方程组通解的结构。为此,先讨论齐次方程组解的性质。
4.1.2 齐次线性方程组解的性质
我们已知齐次方程组AX=0的解是一个n维向量。
下面要讨论它的所有解组成的集合 是什么样的集合。
因为齐次方程组AX=0必有零解,所以0∈V,故V非空。
性质1 若 都是齐次方程组AX=0的解,则 也是齐次方程组AX=0的解。
证 。
性质2 若 是齐次方程组AX=0的解,k是一个数,则 也是齐次方程组AX=0的解。
证
以上两条性质说明 是 的一个子空间,所以我们称它为齐次方程组AX=0的解空间。
如果齐次方程组AX=0只有零解,V={0},否则,我们希望求出它的所有解的一般表达式,即通解。即写出 中所有元素的一般表达式。
4.1.3 齐次线性方程组AX=0的基础解系
定义4.1.1 设 是齐次线性方程组AX=0的一组解向量。如果它满足:
(1) 线性无关;
(2)齐次线性方程组AX=0的的任意一个解 ,都能由它线性表示。
则称该向量组为齐次线性方程组AX=0的基础解系。
进一步,要问,对于给定的齐次方程组,满足什么条件时,它有基础解系?基础解系含几个解向量?如何求一个齐次线性方程组的基础解系?如何求出该齐次方程组的通解?看例题
例1求齐次线性方程组 的所有解。
【答疑编号12040101】
定理4.1.2 设A是m×n阶矩阵,r(A)=r,则
(1)当r(A)=r <n时齐次方程组AX=0必有基础解系。
(2)AX=0的基础解系含n-r(A)个解向量,且AX=0的任意n-r(A)个线性无关的解都是它的基础解系(因为齐次方程组含n-r(A)个自由未知数)。
(3)如果 是AX=0的一个基础解系,则
为任意数)
为AX=0的通解。
例2设 是齐次方程组AX=0的一个基础解系。证明:
也是AX=0的一个基础解系。
【答疑编号12040201】
例3 求 的基础解系和通解。
【答疑编号12040202】
例4求齐次方程组 的通解。
【答疑编号12040203】
例5 证明:同解的齐次线性方程组的系数矩阵必有相等的秩。
【答疑编号12040204】
证 设齐次方程组AX=0与BX=0同解。则两个方程组所含未知数的个数必相等,设为n,且两个方程组的解空间必相同,其维数必相同,
n-r(A)=n-r(B)
故r(A)=r(B)。命题得证。
例6 设A是m×n阶的实矩阵,证明:
【答疑编号12040205】
例7 设矩阵 和 满足AB=0,证明:r(A)+r(B)≤n
【答疑编号12040206】
小结:
1.齐次方程组AX=0有非零解的充分必要条件是r(A)<n (其中n是未知数的个数)。
2.齐次方程组基础解系的概念,所含解向量的个数,判断向量组是某个齐次方程组基础解系的方法。
3.求齐次方程组基础解系和通解的方法。
作业 p116 1,2,3(1)(4)(5),4,5
4.2 非齐次线性方程组
4.2.1 非齐次线性方程组有解的充要条件
非齐次线性方程组的一般形式是
用矩阵也可简写成
Ax=b
其中 。
我们要讨论的问题是:该非齐次方程组何时有解,有解时,何时解惟一?何时有无穷多解,当有无穷多解时,如何表示其通解?如果
令
则方程组Ax=b有解的充分必要条件就是向量b能由向量组 线性表出。
为方程组Ax=b的增广矩阵,则用矩阵的秩来描述,有下面的定理。
定理4.2.1 线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是 。
4.2.2 非齐次线性方程组解的结构
一、 非齐次线性方程组解的性质
(1)如果 都是非齐次方程组Ax=b的解,则 是它的导出组Ax=0的解;
(2)如果η是非齐次方程组Ax=b的一个解, 是它的导出组Ax=0的解,则 是Ax=b的解。
二、非齐次线性方程组通解的结构
定理4.2.2 (1)如果 ,则线性方程组Ax=b有惟一的解;
(2)如果 ,方程组Ax=b有无穷多解。设 是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解, 是它的导出组Ax=0的基础解系。则
是Ax=b的通解。
(3)当 +1时,方程组无解。
推论 对于n个未知数,n个方程的线性方程组Ax=b。有
(1)如果 ,则方程组Ax=b有惟一的解 ;
(2)如果 ,当 时,方程组有无穷多解。
4.2.3 求非齐次线性方程组通解的方法
步骤:
(1)写出方程组的增广矩阵;
(2)对增广矩阵作初等行变换,将其化为阶梯形;
(3)确定约束未知数和自由未知数;
(4)令所有自由未知数都取零,得非齐次方程组的一个特解;
(5)求出对应齐次方程组(导出组)的基础解系,进而写出原非齐次方程组的通解。
例1 求 的通解
【答疑编号12040401】
例2 当参数a为何值时,非齐次方程组
有解?当它有解时,求出它的通解。
【答疑编号12040402】
例3 证明:线性方程组
有解当且仅当
【答疑编号12040403】
例4 下列向量 能否表示成 的线性组合?
(1)
【答疑编号12040404】
(2)
【答疑编号12040405】
例5 设Ax=b中未知数的个数n=4,r(A)=3。设 为Ax=b的三个解。已知
。 求Ax=b的通解。
【答疑编号12040501】
例6 当参数λ为何值时,非齐次方程组
无解?有惟一解?有无穷多解?并求出它的通解。
【答疑编号12040502】
小结
1.线性方程组Ax=b何时有解?有解时,何时解惟一?何时有无穷多解?有无穷多解时,如何表示其通解;
2.线性方程组Ax=b是否有解,解是否惟一与向量b能否由向量组 线性表示的关系;
3.线性方程组Ax=b的解的性质;
4.非齐次方程组Ax=b的通解的公式,求非齐次方程组通解的方法。
P86 习题3.1 3(1)(3),4,5,p125 习题4.2 1(1)(3)(4)(6)3(1),4,6,
本章总结
1.齐次方程组Ax=0有非零解的充分必要条件;
2.齐次方程组Ax=0的基础解系的概念,基础解系所含解向量的个数,判断向量组是否为齐次方程组基础解系的方法;
3.求齐次方程组的基础解系和通解的方法。
4.线性方程组Ax=b何时无解?何时有解?有解时,何时解惟一?何时有无穷多解?有无穷多解时,如何求其通解。