山西自考线性代数(经管类)复习资料下载3

山西自考网 发布时间:2012年06月05日

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第三部分 向量空间

  本章将把三维向量推广,建立n维向量的概念和运算,研究向量组的线性相关、无关性,进而引入向量组的极大无关组和向量组的秩。这些是研究线性方程组的重要工具。
3.1 n维向量的概念及其线性运算

  3.1.1 n维向量的概念
  在解析几何中,已知二维向量和三维向量
  
  
  在实际问题中,光有二维,三维向量还不够,如要刻画一个球的位置,需四个数。
  推广二维,三维向量,有下面n维向量的定义。
  定义3.1.1由n个有顺序的数 组成的数组
  称为一个n维向量,数 称为该向量的第i个分量
  n维向量既可以用一行n列的行矩阵来表示,也可以用n行一列的列矩阵来表示。
  
  我们分别称它们为行向量,列向量。
  定义3.1.2称所有分量都为零的向量0=(0,0,…0)为零向量。

  称 为 的负向量。
  定义3.1.3如果n维向量 的对应分量都相等,即 则称向量α,β相等,记为α=β。

  3.1.2 n维向量的线性运算
  
  一、向量线性运算的定义
  定义3.1.4 设 定义 为

 的和(差)向量。
  定义3.1.5 设 k为一个数。

  则定义
  为数k与向量 的数乘。

  二、向量线性运算的性质
  设α,β,γ都是n维向量,k、1是数,则加法与数乘满足:
  (1)加法交换律 α+β=β+α
  (2)结合律 (α+β)+γ=α+(β+γ)
  (3)零向量满足 α+0=0+α=α
  (4)负向量满足 α+(-α) =0
  (5)1•α=α
  (6)分配律 k (α+β)=kα+kβ
  (7)(k+1) α=kα+1α
  (8)k(1α)=(kl)α=1(kα)
  例1.设α=(2,1,3), β=(-1,3,6),γ=(2,-1,4),求2α+3β-γ。
  【答疑编号12030101】
 
  例2.设α=(1,0,-2,3), β=(4,-1,-2,3),求满足2α+β+3γ=0的γ。
  【答疑编号12030102】
  解:
 

  3.1.3 向量的线性组合
  
  一、定义
  定义3.1.6 设 是一组n维向量, 是一组常数,则称 为 的一个线性组合,常数 称为该线性组合的组合系数。
  设β是一个n维向量,若存在一组数 使得 则称β是 的线性组合,也称β能由 线性表出(或线性表示)。称 为组合系数或表出系数。
  因为 所以零向量可以由任意向量组线性表出。
  例3.设n维向量组 (称为基本单位向量组)
   是任意n维向量。则
  即任意n维向量组都能由基本单位向量组线性表示。
  【答疑编号12030103】

  二、线性组合的几何意义
  

  三、组合系数的求法
  例4.设  问β能否表示成 的线性组合?
  【答疑编号12030201】
 
 
 
  由此例可见,问β能否由 线性表示的问题就是问相应的线性方程组是否有解的问题。请同学们务必掌握这二者之间的转化方法。
  事实上,对任意一个线性方程组
  
  若令
  则线性方程组的向量表示法为方程
  (这是方程组的第三种表示法,其系数矩阵,增广矩阵是什么样?)
  则线性方程组是否有解的问题就是β能否由向量组 线性表示的问题,表示法是否惟一的问题就是方程组的解是否惟一的问题。

  例5. 问β能否由 线性表示?表示法是否唯一?
  【答疑编号12030202】
  解:
  
  此例说明β能由 线性表示,且表示法不惟一。

  小结:
  1.n维向量及其线性运算的定义和性质;
  2.向量组的线性组合,向量由向量组线性表示的概念
  3.线性方程组的三种表示方法:
  
  矩阵表示法:AX=B
  向量表示法:
  作业 p86 习题3.1 1,2,3(2),6
3.2 线性相关与线性无关

  3.2.1 线性相关与线性无关的定义
  
  定义3.2.1设 是一组n维向量。如果存在一组不全为零的数 使得 则称向量组 线性相关。否则,称向量组 线性无关。即如果 必有 则称向量组 线性无关。
  事实上, 线性无关,就是零向量由 线性表示的表示法惟一。
  所以,向量组 线性相关即齐次方程组
  有非零解;向量组 线性无关即齐次方程组 只有零解,没有非零解。
  例1.一个向量构成的向量组{α}线性相关的充分必要条件是α=0。
  因为1•0=0。所以,α=0时,向量组{α}线性相关;
  反之,如果向量组{α}线性相关,据定义存在α≠0,使得,kα=0,必有α=0。
  【答疑编号12030301】
  例2.讨论 的线性相关性。
  【答疑编号12030302】
  解:
 
 
 
  例3.n维基本向量组 必线性无关
  【答疑编号12030303】
  下面的定理说明向量组线性相关的实际含义。
  定理3.2.1向量组 线性相关的充分必要条件是存在一个 ,使得它能由该向量组的其它向量线性表示。
 
 
  例4.向量组α,β线性相关的充分必要条件是存在数k,使得α=kβ或β=kα。
  【答疑编号12030304】
  重要结论
  (1)n个n维向量 线性无关的充分必要条件是其构成的行列式 其中 为列向量。
  (2)一个向量α线性相关的充分必要条件是α=0,两个向量线性相关的充分必要条件是存在数k,使得α=kβ或β=kα。

  3.2.2 向量组线性相关性的若干基本定理
  
  这部分的重点是准确地理解和叙述定理,而不是证明。
  定理3.2.2设向量组 线性无关,向量组 线性相关,则β能由向量组 线性表出,且表示法惟一。
 
 

 

 

 


 
  定理3.2.3设向量组 线性相关, 是任意一个n维向量。则向量组 必线性相关。
 
  推论1含有零向量的向量组必线性相关。
  推论2设 线性相关,则任意扩充后所得的向量组 必线性相关。(部分相关,则整体相关)
  推论3设向量组 线性无关,则它的任何一个部分组必线性无关。
  (整体无关,则部分无关)
  定理3.2.4
  设向量组 线性无关。则由它生成的接长向量组 必线性无关,其中
 
 
  推论4若接长向量组 线性相关,必有原向量组 线性相关。
  例5.向量组 线性无关,知 必线性无关。
  【答疑编号12030401】
  例6. 由前例知 线性相关,所以 必线性相关。
  请注意区分“接长向量组与截短向量组”和“向量组(扩充向量组)与向量组的部分组(向量组)”。
  【答疑编号12030402】

  小结:
  1.向量组线性相关性与齐次方程组有非零解的关系
  2.线性相关性的几个定理
  3.请总结判断向量组线性相关性的方法。
  作业 p94 习题3.2 1.(1)(2),2。
  3.3 向量组的秩

  这一节主要讨论向量组的极大无关组和向量组的秩的概念及其求法

  3.3.1 两个向量组的关系

  定义3.3.1(向量组的线性表出) 设有两个向量组

  
  若向量组R中的每个向量 都能由向量组 线性表出,则称向量组R能由向量组S线性表出。
  例1  。则向量组R能由向量组S线性表出。
  【答疑编号12030501】
  例2 向量组A的任何一个部分组都能由该向量组线性表示。
  【答疑编号12030502】
 
  定义3.3.2(向量组的等价)如果向量组R能由向量组S线性表出,反之,向量组S也能由向量组R线性表出,则称向量组R与S等价。
  例3  ,则向量组R与S等价。
  【答疑编号12030503】
  证:显然,R中的每一个向量都能由向量组S线性表出。
 
  容易看出等价关系具有:反身性;对称性;传递性。
 

  3.3.2 向量组的极大无关组

  设 是所有3维向量的全体。 ,我们已知 线性无关,对于任意一个三维向量 ,α能由 线性表示。所以 ,α就线性相关了。我们称 为 的极大线性无关组,简称极大无关组。一般,有
  定义3.3.3设A是一组n维向量。如果A中存在一组向量 满足:
  (1) 线性无关;
  (2)在A中,任取一个向量α,则 ,α必线性相关。
  则称 为A的一个极大线性无关组,简称极大无关组。
  例4  是 的一个极大无关组。
  【答疑编号12030504】
 
  定理3.3.1  是向量组T的一个极大无关组,则R与T等价,从而它的任意两个极大无关组也等价。
 
  定理3.3.2 向量组A含有r个n维向量,向量组B含有s个n维向量,向量组A能由向量组B线性表示,且向量组A线性无关,则r≤s。
  推论1两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相等。
 
  推论2向量组的两个极大无关组所含向量个数相等。
  推论3设A是一个n维向量组。则它的极大无关组的向量个数不超过n (即≤n)。
  证 因为 是 的一个极大无关组,所以任给α∈A,α都能由 线性表示,所以A的极大无关组也能由 线性表示。
  故它的极大无关组的向量个数不超过n。
  推论4 如果向量组A所含向量个数大于其维数n,则向量组A必线性相关。

  3.3.3 向量组的秩

  定义3.3.4(向量组的秩)设A是一个向量组。称A的极大无关组所含向量个数为该向量组的秩,记为r(A)(我们规定只含零向量的向量组的秩为0)。
  容易看出,当向量组A所含向量个数= r(A)时,A线性无关;若当向量组A所含向量个数>r(A)时,A线性相关。
  定理3.3.3 如果向量组S可以由向量组T线性表出,则r(S)≤r(T)。
 
  推论5 等价的向量组必有相等的秩。
  在矩阵一章,我们讨论过矩阵的秩。一个自然的问题是矩阵的秩和向量组的秩之间有何关系?有下面的定理。
  定理3.3.4矩阵A的秩等于它的行向量组的秩,也等于它的列向量组的秩。(今后统称为矩阵A的秩。)
  于是我们可以通过求矩阵的秩来求向量组的秩。
  例5 求向量组 的秩。
  【答疑编号12030601】
 

  3.3.4 求向量组的极大无关组的方法

  注意:对于列向量组 构成的矩阵
  因为初等变换不改变矩阵的秩,所以向量组 与向量组 的线性相关性相同。
  若 线性无关, 线性相关,则以 为增广矩阵的线性方程组与 为增广矩阵的线性方程组同解,所以,若 。
  于是有下面的求极大无关组的方法,并能把其余向量由极大无关组线性表示。
  例6 求 的极大无关组。并将其余向量由该极大无关组线性表示。
  【答疑编号12030602】
  方法: (1)用列向量做成矩阵A;(2)对A做初等行变换使 。
 
 
  例7 (1)求下列向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示
  (2)这个向量组有几个极大无关组?
  
  【答疑编号12030701】
 
 
  例8 用矩阵的秩与向量组的秩的关系证明:
  【答疑编号12030702】
  证 设A为m×n阶矩阵,B为n×k阶矩阵。
  
  
  其中
  这表明向量组C能由向量组A线性表出。所以R(AB)≤R(A)。
  因为 。
  命题得证。

  小结 向量组的秩的概念以及如何根据秩与向量个数的关系判断向量组的线性相关性。
  重点是例6,7给出的求极大无关组的方法。
  作业 p103 1(2)(5)(6),2,4,6,7
  3.4 向量空间
  
  3.4.1 向量空间的概念

  定义3.4.1 n维实向量的全体构成的集合称为实n维向量空间,记作 。

  定义3.4.2 设V是 的一个非空子集,且满足

  (1)若 则;
  (1)若 ,则
  则称V是 的子空间。
  例1  的一个子空间,称为零子空间。
  【答疑编号12030801】
  例2  都是 的子空间。
  但 都不是 的子空间。
  其中 属于实数。
  【答疑编号12030802】
 
  类似的,不难证明 也是 的子空间。
 
  类似的,不难证明 也不是 的子空间。

  3.4.2 生成子空间

  定义3.4.3对任意的一组n维向量 ,由它们的全体线性组合组成的集合
   生成的子空间,记为
  下面证明 确实是 的子空间。
 

  3.4.3 基,维数,坐标

  定义3.4.4设V是 的一个向量空间(子空间)。若V中的向量组 ;
  (1) 线性无关;
  (2)V中的任意一个向量α,都能由 线性表出(α, 线性相关,且表示法惟一),即存在惟一一组数 ,使得 。
  则称向量组 为V的一个基,称r为向量空间V的维数,称 为向量α在这个基下的坐标。  没有基,定义为0维。
  例3  中 是 的一个基,所以, 是n维。
  【答疑编号12030803】
  例4 任取 ,则α在基 下的坐标为
  【答疑编号12030804】
  例5 证明:  构成 的一个基。并求出 在这组基下的坐标。
  【答疑编号12030805】
 

  例6 求 中由向量组 生成的子空间的基和维数。
  【答疑编号12030806】
 
  小结
  1.子空间的定义和判断 的一个子集是子空间的方法。
  2.关于向量空间的基,坐标和维数的概念,求一个向量在一组基下的坐标的方法。
  作业p108 习题3.4 1,2,3,5

  本章小结
  1.向量的线性运算的定义和性质;
  2.向量由一个向量组线性表示的定义以及与线性方程组之间的关系;
  3.向量组线性相(无)关的定义与齐次方程组是否有非零解的关系;
  4.判断向量组线性相关性的方法;
  5.关于向量组线性相关性的若干定理;
  6.向量组的极大无关组,向量组的秩的概念;求向量组的极大无关组并将其余向量由极大无关组线性表出的方法;
  7.向量空间的子空间的概念,向量空间的基,坐标和维数的概念。