山西自考线性代数（经管类）复习资料下载1
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第一部分 行列式
本章概述
行列式在线性代数的考试中占很大的比例。从考试大纲来看。虽然只占13%左右。但在其他章。的试题中都有必须用到行列式计算的内容。故这部分试题在试卷中所占比例远大于13%。
大纲中规定的比例 07.4全国统考试题 07.7全国统考试题 07.10全国统考试题
直接考行列式这一章的 13%左右 11% 11% 15%
再加上其余各章中必须应用行列式计算的 34% 29% 21%
1.1 行列式的定义
1.1.1 二阶行列式与三阶行列式的定义
一、二元一次方程组和二阶行列式
例1.求二元一次方程组
的解。
【答疑编号12010101】
解：应用消元法得
当 时。得
同理得
定义 称 为二阶行列式。称 为二阶行列式的值。
记为 。
于是
由此可知。若 。则二元一次方程组的解可表示为：
例2
【答疑编号12010102】
二阶行列式的结果是一个数。我们称它为该二阶行列式的值。
二、三元一次方程组和三阶行列式
考虑三元一次方程组
希望适当选择 。使得当 后将 消去。得一元一次方程
若 ，能解出
其中 要满足
为解出 。在（6），（7）的两边都除以 得
这是以 为未知数的二元一次方程组。
定义1.1.1 在三阶行列式 中，称
于是原方程组的解为 ;
类似地得
这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。
例3 计算
【答疑编号12010103】
例4 （1）
【答疑编号12010104】
（2）
【答疑编号12010105】
例5 当x取何值时， ？
【答疑编号12010106】
为将此结果推广到n元一次方程组。需先将二阶、三阶行列式推广到n阶行列式。
1.1.2 阶行列式的定义
定义1.1.2 当n时，一阶行列式就是一个数。当 时，称
为n阶行列式。
定义 （其所在的位置可记为 的余子式
的代数余子式 。
定义 为该n阶行列式的值。即
。
容易看出，第j列元素的余子式 和代数余子式 都与第j列元素无关；类似地，第i行元素的余子式 和代数余子式 都与第i行元素无关。n阶行列式为一个数。
例6 求出行列式 第三列各元素的代数余子式。
【答疑编号12010107】
例7 （上三角行列式）
【答疑编号12010108】
1.2 行列式按行（列）展开
定理1.2.1（行列式按行（列）展开定理）
例1 下三角行列式＝主对角线元素的乘积。
【答疑编号12010201】
例2 计算行列式
【答疑编号12010202】
例3 求n阶行列式
【答疑编号12010203】
小结
1.行列式中元素 的余子式 和代数余子式 的定义。
2.二阶行列式的定义 。
3.阶行列式的定义。即 。
4.行列式按行（列）展开的定理和应用这个定理将行列式降阶的方法。
作业p8 习题1.1 1（1）（2）（3）（5）（6），3
作业 p11习题1.2 1，2，3（1），（2），4
1.3 行列式的性质及计算
1.3.1 行列式的性质
给定行列式
将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为 或 。
性质1 转置的行列式与原行列式相等。即
性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。
推论1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。
推论2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。
性质3 行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。
以二阶为例
设
推论3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。
证 设 中，第i行与第j行元素完全相同，则
所以，D=0。
性质4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。
性质5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，即
只要看
注意 性质中是指某一行（列）而不是每一行。
可见
性质6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列式的值不变。
证
.
1.3.2 行列式的计算
人们认识事物的基本方法是化未知为已知。
对行列式，先看何为已知，（1）二，三阶行列式的计算；（2）三角形行列式的计算。
因此，我们计算行列式的基本方法是利用行列式的性质把行列式化为三角形，或降阶。
例1 计算
【答疑编号12010204】
在行列式计算中如何造零是个重要技巧，主要是应用性质6。
例2 计算
【答疑编号12010205】
例3 计算
【答疑编号12010206】
例4 计算
【答疑编号12010207】
例5 计算
【答疑编号12010208】
扩展
计算
【答疑编号12010209】
例6 计算
【答疑编号12010301】
方法1
方法2
扩展：计算
【答疑编号12010302】
例7 计算
【答疑编号12010303】
例8 计算
【答疑编号12010304】
扩展：计算
【答疑编号12010305】
例9 计算n阶行列式
【答疑编号12010306】
解 按第一列展开，得
例10 范德蒙行列式……
【答疑编号12010307】
.
【答疑编号12010308】
例11 计算
【答疑编号12010309】
例12 证明
【答疑编号12010310】
小结
1.准确叙述行列式的性质；
2.应用行列式的性质计算行列式的方法
（1）低阶的数字行列式和简单的文字行列式；
（2）各行元素之和为相同的值的情况
（3）有一行（列）只有一个或两个非零元的情况
作业 p22 习题1.3 1（1）（3），2，5，6（1）（3）（4）（5）（10）（11）（12）
1.4 克拉默法则
这一节将把二元一次方程组解的公式推广到n个未知数，n个方程的线性方程组。为此先介绍下面的定理。
定理1.4.1 对于n阶行列式
证 由定理1.2.1知 ，注意改变第二列的元素，并不改变第二列元素的代数余子式
类似地，可证明该定理的剩余部分。
定理1.4.2 如果n个未知数，n个方程的线性方程组
的系数行列式
则方程组有惟一的解:
其中
证明从略
例1.求解
【答疑编号12010401】
把克拉默法则应用到下面的齐次方程组有
定理1.4.3 如果n个未知数n个方程的齐次方程组
的系数行列式D≠0，则该方程组只有零解，没有非零解。
推论 如果齐次方程组
有非零解，则必有系数行列式D=0。
事实上，以后我们将证明对于由n个未知数n个方程的齐次方程组，系数行列式D=0，不仅是该齐次方程组有非零解的必要条件，也是充分条件,即若系数行列式D=0,则齐次方程组必有非零解。
例2 判断线性方程组
是否只有零解
【答疑编号12010402】
例3 当k为何值时，齐次方程组
没有非零解？
【答疑编号12010403】
例4 问当 取何值时,齐次方程组
有非零解?
【答疑编号12010404】
1.定理1.4.1 对于 ，有
2.n个未知数,n个方程的线性方程组的克拉默法则。
以及n个未知数, n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。
作业 p28 习题1.4 1（1）（2）（3）3
第一章小结
基本概念
1.行列式中元素 的余子式 和代数余子式 。
2.行列式的定义
基本公式
1.行列式按一行(一列)展开的定理；
2.行列式的性质；
3.行列式中任一行(列)与另一行(列)的代数余子式乘积的和=0；
4.克拉默法则
5.n个未知数,n个方程的齐次方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式=0。
重点练习内容
1.行列式中元素的余子式和代数余子式的计算；
2.行列式的计算及重点例题
（1）二、三阶行列式的计算；方法：利用行列式的性质降阶。
（2）各行元素之和为常数的情况(重点例题：1.3节中例5及其扩展)；
（3）特殊的高阶行列式。