2014年04183概率论与数据统计（经管类）复习资料-第二章 随机变量及其概率分布2

三.连续型随机变量
    1.定义  如果随机变量X的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=,-∞< x <∞,则称X为连续型随机变量,其中f (x)称为X的概率密度(函数).
 
    2.概率密度的性质
(1)非负性  f(x)≥0 ;                   (2)归一性  =1 ;
(3) P{x ₁<X≤x ₂}= ;          (4)若f (x)在点x处连续,则f (x)=F^/ (x) .
注意：连续型随机变量X取任一指定实数值a的概率为零,即P{X= a}=0 .
    3.三种重要的连续型随机变量的分布
(1)X～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布     .
(2)X服从参数为q的指数分布.
    (q>0).
(3)X~N (m,s² )参数为m,s的正态分布  -¥<x<¥,  s>0.
特别, m=0, s² =1时,称X服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度
 , 标准正态分布函数  , F(-x)=1-Φ(x) .
若X～N ((m,s²), 则Z=~N (0,1),  P{x₁<X≤x₂}=Φ()-Φ().
若P{Z>z _a}= P{Z<-z _a}= P{|Z|>z _a/2}= a,则点z _a,-z _a, ±z _{a/ 2}分别称为标准正态分布的上,下,双侧a分位点.  注意：F(z _a)=1-a , z _1- a= -z _a.
四.随机变量X的函数Y= g (X)的分布
    1.离散型随机变量的函数

X	x 1    x2   …  x k   …
p k	p 1    p2   …  p k   …
Y=g(X)	g(x1)  g(x2) … g(x k)  …

若g(x _k) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.
若g(x _k) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律.
    2.连续型随机变量的函数
若X的概率密度为f_X(x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f_Y(y)常用两种方法：
(1)分布函数法  先求Y的分布函数F_Y(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=
其中Δ_k(y)是与g(X)≤y对应的X的可能值x所在的区间(可能不只一个),然后对y求导即得f_Y(y)=F_Y ^/(y) .
(2)公式法  若g(x)处处可导,且恒有g ^/(x)>0 (或g ^/ (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为     
其中h(y)是g(x)的反函数 , a= min (g (-¥),g (¥))  b= max (g (-¥),g (¥)) .
如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 a= min (g (a),g (b))  b= max (g (a),g (b)) .